Интеграл (x+1)/x^2 (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 1   
 |  ----- dx
 |     2    
 |    x     
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Результат есть: $\log{\left (x \right )} - \frac{1}{x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right) = \frac{1}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. пусть $u = \frac{1}{x^{2}}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{2 dx}{x^{3}}$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} - \frac{1}{x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (x \right )} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (x \right )} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1              
  /              
 |               
 |  x + 1        
 |  ----- dx = oo
 |     2         
 |    x          
 |               
/                
0                

$${\it \%a}$$

Численный ответ

1.3793236779486e+19

Ответ (Неопределённый)

  /                         
 |                          
 | x + 1          1         
 | ----- dx = C - - + log(x)
 |    2           x         
 |   x                      
 |                          
/                           

$$\log x-{{1}\over{x}}$$