Интеграл (x+1)*log(x) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (x + 1)*log(x) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \left(x + 1\right) \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x + 1\right) \log{\left (x \right )} = x \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left (x \right )} - x$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x}{4} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 4 \log{\left (x \right )} - 4\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{4} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 4 \log{\left (x \right )} - 4\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{4} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 4 \log{\left (x \right )} - 4\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |  (x + 1)*log(x) dx = -5/4
 |                          
/                           
0                           

$$-{{5}\over{4}}$$

Численный ответ

-1.25

Ответ (Неопределённый)

  /                             2               2       
 |                             x               x *log(x)
 | (x + 1)*log(x) dx = C - x - -- + x*log(x) + ---------
 |                             4                   2    
/                                                       

$$\left({{x^2}\over{2}}+x\right)\,\log x-{{x^2+4\,x}\over{4}}$$