Интеграл (x+1)*log(x+1) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  (x + 1)*log(x + 1) dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{1}{2} \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \left(x + 1\right)^{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{4} \left(x + 1\right)^{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} = x \log{\left (x + 1 \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 1}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x^{2}}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -1\, dx = - x$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \log{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- x + \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - 1$

         Метод #2

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - 1$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{4} \left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left (x + 1 \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left (x + 1 \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left (x + 1 \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |  (x + 1)*log(x + 1) dx = -3/4 + 2*log(2)
 |                                         
/                                          
0                                          

$$2\,\log 2-{{3}\over{4}}$$

Численный ответ

0.636294361119891

Ответ (Неопределённый)

  /                                   2          2           
 |                             (x + 1)    (x + 1) *log(x + 1)
 | (x + 1)*log(x + 1) dx = C - -------- + -------------------
 |                                4                2         
/                                                            

$$\left({{x^2}\over{2}}+x\right)\,\log \left(x+1\right)+{{\log \left( x+1\right)}\over{2}}-{{x^2+2\,x}\over{4}}$$