Интеграл (x+1)^5 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         5   
 |  (x + 1)  dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \left(x + 1\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{6} \left(x + 1\right)^{6}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 1\right)^{5} = x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5 x^{4}\, dx = 5 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10 x^{3}\, dx = 10 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10 x^{2}\, dx = 10 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{10 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5 x\, dx = 5 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{x^{6}}{6} + x^{5} + \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{6} \left(x + 1\right)^{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{6} \left(x + 1\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{6} \left(x + 1\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |         5          
 |  (x + 1)  dx = 21/2
 |                    
/                     
0                     

$${{21}\over{2}}$$

Численный ответ

10.5

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                          6
 |        5          (x + 1) 
 | (x + 1)  dx = C + --------
 |                      6    
/                            

$${{x^6}\over{6}}+x^5+{{5\,x^4}\over{2}}+{{10\,x^3}\over{3}}+{{5\,x^2 }\over{2}}+x$$