Интеграл (x+1)^17 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |         17   
 |  (x + 1)   dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \left(x + 1\right)^{17}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{17}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{18} \left(x + 1\right)^{18}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 1\right)^{17} = x^{17} + 17 x^{16} + 136 x^{15} + 680 x^{14} + 2380 x^{13} + 6188 x^{12} + 12376 x^{11} + 19448 x^{10} + 24310 x^{9} + 24310 x^{8} + 19448 x^{7} + 12376 x^{6} + 6188 x^{5} + 2380 x^{4} + 680 x^{3} + 136 x^{2} + 17 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 17 x^{16}\, dx = 17 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 136 x^{15}\, dx = 136 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{17 x^{16}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 680 x^{14}\, dx = 680 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{136 x^{15}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2380 x^{13}\, dx = 2380 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $170 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6188 x^{12}\, dx = 6188 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $476 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 12376 x^{11}\, dx = 12376 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3094 x^{12}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 19448 x^{10}\, dx = 19448 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $1768 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 24310 x^{9}\, dx = 24310 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $2431 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 24310 x^{8}\, dx = 24310 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{24310 x^{9}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 19448 x^{7}\, dx = 19448 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $2431 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 12376 x^{6}\, dx = 12376 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $1768 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6188 x^{5}\, dx = 6188 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3094 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2380 x^{4}\, dx = 2380 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $476 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 680 x^{3}\, dx = 680 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $170 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 136 x^{2}\, dx = 136 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{136 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 17 x\, dx = 17 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{17 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{x^{18}}{18} + x^{17} + \frac{17 x^{16}}{2} + \frac{136 x^{15}}{3} + 170 x^{14} + 476 x^{13} + \frac{3094 x^{12}}{3} + 1768 x^{11} + 2431 x^{10} + \frac{24310 x^{9}}{9} + 2431 x^{8} + 1768 x^{7} + \frac{3094 x^{6}}{3} + 476 x^{5} + 170 x^{4} + \frac{136 x^{3}}{3} + \frac{17 x^{2}}{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{18} \left(x + 1\right)^{18}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{18} \left(x + 1\right)^{18}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{18} \left(x + 1\right)^{18}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |         17             
 |  (x + 1)   dx = 29127/2
 |                        
/                         
0                         

$${{29127}\over{2}}$$

Численный ответ

14563.5

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                           18
 |        17          (x + 1)  
 | (x + 1)   dx = C + ---------
 |                        18   
/                              

$${{\left(x+1\right)^{18}}\over{18}}$$