Интеграл (x+5)/(x+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 5   
 |  ----- dx
 |  x + 1   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x + 5}{x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 5}{x + 1} = 1 + \frac{4}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{x + 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x + 4 \log{\left (x + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 5}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} + \frac{5}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

         Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5}{x + 1}\, dx = 5 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

            2. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $5 \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )} + 5 \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + 4 \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + 4 \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |  x + 5                  
 |  ----- dx = 1 + 4*log(2)
 |  x + 1                  
 |                         
/                          
0                          

$$4\,\log 2+1$$

Численный ответ

3.77258872223978

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 | x + 5                          
 | ----- dx = C + x + 4*log(1 + x)
 | x + 1                          
 |                                
/                                 

$$4\,\log \left(x+1\right)+x$$