Интеграл (x+sin(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  (x + sin(x))  dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = x^{2} + 2 x \sin{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x \sin{\left (x \right )}\, dx = 2 \int x \sin{\left (x \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 x \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - 2 x \cos{\left (x \right )} + \frac{x}{2} + 2 \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} - 2 x \cos{\left (x \right )} + \frac{x}{2} + 2 \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} - 2 x \cos{\left (x \right )} + \frac{x}{2} + 2 \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                               
  /                                                                               
 |                            2         2                                         
 |              2      1   cos (1)   sin (1)                         cos(1)*sin(1)
 |  (x + sin(x))  dx = - + ------- + ------- - 2*cos(1) + 2*sin(1) - -------------
 |                     3      2         2                                  2      
/                                                                                 
0                                                                                 

$$-{{3\,\sin 2-24\,\sin 1+24\,\cos 1-10}\over{12}}$$

Численный ответ

1.20834633450643

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                
 |                                                   3             
 |             2          x              sin(2*x)   x              
 | (x + sin(x))  dx = C + - + 2*sin(x) - -------- + -- - 2*x*cos(x)
 |                        2                 4       3              
/                                                                  

$${{x-{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}}\over{2}}+2\,\left(\sin x-x \,\cos x\right)+{{x^3}\over{3}}$$