Интеграл (x+3)/(x-1) (dx)

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 3}{x - 1} = 1 + \frac{4}{x - 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{x - 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x - 1 \right )}$

      Результат есть: $x + 4 \log{\left (x - 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{3}{x - 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Результат есть: $x + \log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x - 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x - 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 1 \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

            2. пусть $u = x - 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (x - 1 \right )}$

      Результат есть: $x + \log{\left (x - 1 \right )} + 3 \log{\left (x - 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + 4 \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + 4 \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |  x + 3                  
 |  ----- dx = -oo - 4*pi*I
 |  x - 1                  
 |                         
/                          
0                          

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-175.363827144878

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                                 
 | x + 3                           
 | ----- dx = C + x + 4*log(-1 + x)
 | x - 1                           
 |                                 
/                                  

$$x+4\,\log \left(x-1\right)$$