Интеграл (x+3)/(x+1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1         
      /         
     |          
     |  x + 3   
     |  ----- dx
     |  x + 1   
     |          
    /           
    0           
    01x+3x+1dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 3}{x + 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x+3x+1=1+2x+1\frac{x + 3}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x + 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2x+1dx=21x+1dx\int \frac{2}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. пусть u=x+1u = x + 1.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Таким образом, результат будет: 2log(x+1)2 \log{\left(x + 1 \right)}

        Результат есть: x+2log(x+1)x + 2 \log{\left(x + 1 \right)}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x+3x+1=xx+1+3x+1\frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} + \frac{3}{x + 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          xx+1=11x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (1x+1)dx=1x+1dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

            1. пусть u=x+1u = x + 1.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Таким образом, результат будет: log(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

          Результат есть: xlog(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3x+1dx=31x+1dx\int \frac{3}{x + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. пусть u=x+1u = x + 1.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Таким образом, результат будет: 3log(x+1)3 \log{\left(x + 1 \right)}

        Результат есть: xlog(x+1)+3log(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 1 \right)}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+2log(x+1)+constantx + 2 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+2log(x+1)+constantx + 2 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
    Ответ [src]
    1 + 2*log(2)
    1+2log(2)1 + 2 \log{\left(2 \right)}
    =
    =
    1 + 2*log(2)
    1+2log(2)1 + 2 \log{\left(2 \right)}
    Численный ответ [src]
    2.38629436111989
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                               
     |                                
     | x + 3                          
     | ----- dx = C + x + 2*log(1 + x)
     | x + 1                          
     |                                
    /                                 
    x+3x+1dx=C+x+2log(x+1)\int \frac{x + 3}{x + 1}\, dx = C + x + 2 \log{\left(x + 1 \right)}
    График
    Интеграл (x+3)/(x+1) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/8/26/696e73291d570054ecca0cbae9611.png