Интеграл (x+3)*e^-x (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           -x   
 |  (x + 3)*E   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} e^{- x} \left(x + 3\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u} - 3 e^{u}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 3 e^{u}\, du = - 3 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- 3 e^{u}$

         Результат есть: $u e^{u} - 4 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x e^{- x} - 4 e^{- x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- x} \left(x + 3\right) = x e^{- x} + 3 e^{- x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 e^{- x}\, dx = 3 \int e^{- x}\, dx$

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 e^{- x}$

      Результат есть: $- x e^{- x} - 4 e^{- x}$

2. Теперь упростить:

   $- \left(x + 4\right) e^{- x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(x + 4\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(x + 4\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                           
 |                            
 |           -x             -1
 |  (x + 3)*E   dx = 4 - 5*e  
 |                            
/                             
0                             

$${{\left(3\,E-4\right)\,\log E+E-1}\over{E\,\left(\log E\right)^2}}$$

Численный ответ

2.16060279414279

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                                   
 |          -x             -x      -x
 | (x + 3)*E   dx = C - 4*e   - x*e  
 |                                   
/                                    

$$-{{\left(\log E\,x+1\right)\,e^ {- \log E\,x }}\over{\left(\log E \right)^2}}-{{3}\over{E^{x}\,\log E}}$$