Интеграл (x+3)*cos(x) (dx)

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x + 3$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 3\right) \cos{\left (x \right )} = x \cos{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 \cos{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $3 \sin{\left (x \right )}$

      Результат есть: $x \sin{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x + 3\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x + 3\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                           
  /                                           
 |                                            
 |  (x + 3)*cos(x) dx = -1 + 4*sin(1) + cos(1)
 |                                            
/                                             
0                                             

$$4\,\sin 1+\cos 1-1$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 | (x + 3)*cos(x) dx = C + (3 + x)*sin(x) + cos(x)
 |                                                
/                                                 

$$x\,\sin x+3\,\sin x+\cos x$$