Интеграл (x+y)/(x-y) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + y   
 |  ----- dx
 |  x - y   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x + y}{x - y}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + y}{x - y} = \frac{2 y}{x - y} + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 y}{x - y}\, dx = 2 y \int \frac{1}{x - y}\, dx$

         1. пусть $u = x - y$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - y \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 y \log{\left (x - y \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $x + 2 y \log{\left (x - y \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + y}{x - y} = \frac{x}{x - y} + \frac{y}{x - y}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x - y} = \frac{y}{x - y} + 1$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{y}{x - y}\, dx = y \int \frac{1}{x - y}\, dx$

            1. пусть $u = x - y$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - y \right )}$

            Таким образом, результат будет: $y \log{\left (x - y \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $x + y \log{\left (x - y \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{y}{x - y}\, dx = y \int \frac{1}{x - y}\, dx$

         1. пусть $u = x - y$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - y \right )}$

         Таким образом, результат будет: $y \log{\left (x - y \right )}$

      Результат есть: $x + 2 y \log{\left (x - y \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + 2 y \log{\left (x - y \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + 2 y \log{\left (x - y \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                            
  /                                            
 |                                             
 |  x + y                                      
 |  ----- dx = 1 - 2*y*log(-y) + 2*y*log(1 - y)
 |  x - y                                      
 |                                             
/                                              
0                                              

$$\int_{0}^{1} \frac{x + y}{x - y}\, dx = - 2 y \log{\left (- y \right )} + 2 y \log{\left (- y + 1 \right )} + 1$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                  
 | x + y                            
 | ----- dx = C + x + 2*y*log(x - y)
 | x - y                            
 |                                  
/                                   

$$2\,\log \left(x-y\right)\,y+x$$