Интеграл (x+8)^10 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |         10   
 |  (x + 8)   dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x + 8\right)^{10}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 8$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{10}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(x + 8\right)^{11}}{11}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 8\right)^{10} = x^{10} + 80 x^{9} + 2880 x^{8} + 61440 x^{7} + 860160 x^{6} + 8257536 x^{5} + 55050240 x^{4} + 251658240 x^{3} + 754974720 x^{2} + 1342177280 x + 1073741824$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 80 x^{9}\, dx = 80 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $8 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2880 x^{8}\, dx = 2880 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $320 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 61440 x^{7}\, dx = 61440 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $7680 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 860160 x^{6}\, dx = 860160 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $122880 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8257536 x^{5}\, dx = 8257536 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $1376256 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 55050240 x^{4}\, dx = 55050240 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $11010048 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 251658240 x^{3}\, dx = 251658240 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $62914560 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 754974720 x^{2}\, dx = 754974720 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $251658240 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1342177280 x\, dx = 1342177280 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $671088640 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1073741824\, dx = 1073741824 x$

      Результат есть: $\frac{x^{11}}{11} + 8 x^{10} + 320 x^{9} + 7680 x^{8} + 122880 x^{7} + 1376256 x^{6} + 11010048 x^{5} + 62914560 x^{4} + 251658240 x^{3} + 671088640 x^{2} + 1073741824 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(x + 8\right)^{11}}{11}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x + 8\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(x + 8\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$

Ответ

22791125017
-----------
     11    

$$\frac{22791125017}{11}$$

=

=

22791125017
-----------
     11    

$$\frac{22791125017}{11}$$

Численный ответ

2071920456.09091

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                           11
 |        10          (x + 8)  
 | (x + 8)   dx = C + ---------
 |                        11   
/                              

$$\int \left(x + 8\right)^{10}\, dx = C + \frac{\left(x + 8\right)^{11}}{11}$$

График