Интеграл x*acos(3*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*acos(3*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{acos}{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (3 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{3}{\sqrt{- 9 x^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 9 x^{2} + 1}}\, dx = - \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- 9 x^{2} + 1}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta)/3, rewritten=sin(_theta)**2/27, substep=ConstantTimesRule(constant=1/27, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2/27, symbol=_theta), restriction=And(x < 1/3, x > -1/3), context=x**2/sqrt(-9*x**2 + 1), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{2} \begin{cases} - \frac{x}{18} \sqrt{- 9 x^{2} + 1} + \frac{1}{54} \operatorname{asin}{\left (3 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{3} \wedge x < \frac{1}{3} \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (3 x \right )} - \frac{x}{12} \sqrt{- 9 x^{2} + 1} + \frac{1}{36} \operatorname{asin}{\left (3 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{3} \wedge x < \frac{1}{3} \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (3 x \right )} - \frac{x}{12} \sqrt{- 9 x^{2} + 1} + \frac{1}{36} \operatorname{asin}{\left (3 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{3} \wedge x < \frac{1}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (3 x \right )} - \frac{x}{12} \sqrt{- 9 x^{2} + 1} + \frac{1}{36} \operatorname{asin}{\left (3 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{3} \wedge x < \frac{1}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                           
  /                                        ___
 |                   pi   17*acos(3)   I*\/ 2 
 |  x*acos(3*x) dx = -- + ---------- - -------
 |                   72       36          6   
/                                             
0                                             

$${{\arcsin 3+18\,\arccos 3-3\,2^{{{3}\over{2}}}\,i}\over{36}}$$

Численный ответ

(0.043439875245277 + 0.596587578545073j)

Ответ (Неопределённый)

                          //                 __________                            \               
                          ||                /        2                             |               
                        3*| -1/3, x < 1/3)|    2          
 |                        \\    54             18                                  /   x *acos(3*x)
 | x*acos(3*x) dx = C + ------------------------------------------------------------ + ------------
 |                                                   2                                      2      
/                                                                                                  

$${{3\,\left({{\arcsin \left(3\,x\right)}\over{54}}-{{x\,\sqrt{1-9\,x ^2}}\over{18}}\right)}\over{2}}+{{x^2\,\arccos \left(3\,x\right) }\over{2}}$$