Интеграл x*acos(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  x*acos(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**2/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                 pi
 |  x*acos(x) dx = --
 |                 8 
/                    
0                    

$${{\pi}\over{8}}$$

Численный ответ

0.392699081698724

Ответ (Неопределённый)

                      /               ________                                     
                      |              /      2                                      
                       -1, x < 1)    2        
 |                    \   2            2                                 x *acos(x)
 | x*acos(x) dx = C + ------------------------------------------------ + ----------
 |                                           2                               2     
/                                                                                  

$${{{{\arcsin x}\over{2}}-{{x\,\sqrt{1-x^2}}\over{2}}}\over{2}}+{{x^2 \,\arccos x}\over{2}}$$