Интеграл x*acos(x^2) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |        / 2\   
 |  x*acos\x / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{acos}{\left (x^{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

            1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \operatorname{acos}{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- u^{2} + 1}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 1}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x^{2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{2 x}{\sqrt{- x^{4} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{4} + 1}}\, dx = - \int \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{4} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - x^{4} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 4 x^{3} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 1}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{acos}{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |        / 2\         
 |  x*acos\x / dx = 1/2
 |                     
/                      
0                      

$${{1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                       ________              
 |                       /      4     2     / 2\
 |       / 2\          \/  1 - x     x *acos\x /
 | x*acos\x / dx = C - ----------- + -----------
 |                          2             2     
/                                               

$${{x^2\,\arccos x^2-\sqrt{1-x^4}}\over{2}}$$