Интеграл x*asin(2*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*asin(2*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (2 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2}{\sqrt{- 4 x^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta)/2, rewritten=sin(_theta)**2/8, substep=ConstantTimesRule(constant=1/8, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2/8, symbol=_theta), restriction=And(x < 1/2, x > -1/2), context=x**2/sqrt(-4*x**2 + 1), symbol=x)

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} + \frac{x}{8} \sqrt{- 4 x^{2} + 1} - \frac{1}{16} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} + \frac{x}{8} \sqrt{- 4 x^{2} + 1} - \frac{1}{16} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} + \frac{x}{8} \sqrt{- 4 x^{2} + 1} - \frac{1}{16} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                  ___
 |                   7*asin(2)   I*\/ 3 
 |  x*asin(2*x) dx = --------- + -------
 |                       16         8   
/                                       
0                                       

$${{7\,\arcsin 2+2\,\sqrt{3}\,i}\over{16}}$$

Численный ответ

(0.687505232320913 - 0.359379330459425j)

Ответ (Неопределённый)

  /                     //                 __________                            \    2          
 |                      ||                /        2                             |   x *asin(2*x)
 | x*asin(2*x) dx = C - | -1/2, x < 1/2)|        2      
/                       \\    16             8                                   /               

$${{x^2\,\arcsin \left(2\,x\right)}\over{2}}-{{\arcsin \left(2\,x \right)}\over{16}}+{{x\,\sqrt{1-4\,x^2}}\over{8}}$$