Интеграл x*asin(5*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*asin(5*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left (5 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (5 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{5}{\sqrt{- 25 x^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{5 x^{2}}{2 \sqrt{- 25 x^{2} + 1}}\, dx = \frac{5}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- 25 x^{2} + 1}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta)/5, rewritten=sin(_theta)**2/125, substep=ConstantTimesRule(constant=1/125, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2/125, symbol=_theta), restriction=And(x < 1/5, x > -1/5), context=x**2/sqrt(-25*x**2 + 1), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $\frac{5}{2} \begin{cases} - \frac{x}{50} \sqrt{- 25 x^{2} + 1} + \frac{1}{250} \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{5} \wedge x < \frac{1}{5} \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} + \frac{x}{20} \sqrt{- 25 x^{2} + 1} - \frac{1}{100} \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{5} \wedge x < \frac{1}{5} \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} + \frac{x}{20} \sqrt{- 25 x^{2} + 1} - \frac{1}{100} \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{5} \wedge x < \frac{1}{5} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} + \frac{x}{20} \sqrt{- 25 x^{2} + 1} - \frac{1}{100} \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} & \text{for}\: x > - \frac{1}{5} \wedge x < \frac{1}{5} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                      
  /                                   ___
 |                   49*asin(5)   I*\/ 6 
 |  x*asin(5*x) dx = ---------- + -------
 |                      100          10  
/                                        
0                                        

$${{49\,\arcsin 5+10\,\sqrt{6}\,i}\over{100}}$$

Численный ответ

(0.769679091410528 - 0.878385593412124j)

Ответ (Неопределённый)

                          //                 ___________                            \               
                          ||                /         2                             |               
                        5*| -1/5, x < 1/5)|    2          
 |                        \\   250             50                                   /   x *asin(5*x)
 | x*asin(5*x) dx = C - ------------------------------------------------------------- + ------------
 |                                                    2                                      2      
/                                                                                                   

$${{x^2\,\arcsin \left(5\,x\right)}\over{2}}-{{5\,\left({{\arcsin \left(5\,x\right)}\over{250}}-{{x\,\sqrt{1-25\,x^2}}\over{50}} \right)}\over{2}}$$