Интеграл x*asin(x/2) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |        /x\   
 |  x*asin|-| dx
 |        \2/   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{4 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=8*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=8, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=8*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 2, x > -2), context=x**2/sqrt(-x**2/4 + 1), symbol=x)

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \begin{cases} - x \sqrt{- x^{2} + 4} + 4 \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} = x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{4 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=8*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=8, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=8*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 2, x > -2), context=x**2/sqrt(-x**2/4 + 1), symbol=x)

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \begin{cases} - x \sqrt{- x^{2} + 4} + 4 \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 4} - \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 4} - \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 4} - \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                            
  /                            
 |                          ___
 |        /x\        pi   \/ 3 
 |  x*asin|-| dx = - -- + -----
 |        \2/        12     4  
 |                             
/                              
0                              

$$-{{\pi-3^{{{3}\over{2}}}}\over{12}}$$

Численный ответ

0.17121331409307

Ответ (Неопределённый)

                      /                 ________                                     
                      |      /x\       /      2                                      
  /                   <4*asin|-| - x*\/  4 - x    for And(x > -2, x < 2)    2     /x\
 |                    |      \2/                                           x *asin|-|
 |       /x\          \                                                           \2/
 | x*asin|-| dx = C - -------------------------------------------------- + ----------
 |       \2/                                  4                                2     
 |                                                                                   
/                                                                                    

$${{\arcsin \left({{x}\over{2}}\right)\,x^2}\over{2}}-{{4\,\arcsin \left({{x}\over{2}}\right)-2\,x\,\sqrt{1-{{x^2}\over{4}}}}\over{4}}$$