Интеграл x*asin(x/5) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |        /x\   
 |  x*asin|-| dx
 |        \5/   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{5 \sqrt{- \frac{x^{2}}{25} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{10 \sqrt{- \frac{x^{2}}{25} + 1}}\, dx = \frac{1}{10} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{25} + 1}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=5*sin(_theta), rewritten=125*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=125, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=125*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 5, x > -5), context=x**2/sqrt(-x**2/25 + 1), symbol=x)

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{10} \begin{cases} - \frac{5 x}{2} \sqrt{- x^{2} + 25} + \frac{125}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} & \text{for}\: x > -5 \wedge x < 5 \end{cases}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} = x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )}$

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{5 \sqrt{- \frac{x^{2}}{25} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{10 \sqrt{- \frac{x^{2}}{25} + 1}}\, dx = \frac{1}{10} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{25} + 1}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=5*sin(_theta), rewritten=125*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=125, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=125*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 5, x > -5), context=x**2/sqrt(-x**2/25 + 1), symbol=x)

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{10} \begin{cases} - \frac{5 x}{2} \sqrt{- x^{2} + 25} + \frac{125}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} & \text{for}\: x > -5 \wedge x < 5 \end{cases}$

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} + \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 25} - \frac{25}{4} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} & \text{for}\: x > -5 \wedge x < 5 \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} + \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 25} - \frac{25}{4} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} & \text{for}\: x > -5 \wedge x < 5 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} + \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 25} - \frac{25}{4} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{5} \right )} & \text{for}\: x > -5 \wedge x < 5 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                   ___               
 |        /x\      \/ 6    23*asin(1/5)
 |  x*asin|-| dx = ----- - ------------
 |        \5/        2          4      
 |                                     
/                                      
0                                      

$$-{{23\,\arcsin \left({{1}\over{5}}\right)-2\,\sqrt{6}}\over{4}}$$

Численный ответ

0.066936826847187

Ответ (Неопределённый)

                      /        /x\          _________                                     
                      |125*asin|-|         /       2                                      
  /                   <        \5/   5*x*\/  25 - x                              2     /x\
 |                    |----------- - ----------------  for And(x > -5, x < 5)   x *asin|-|
 |       /x\          \     2               2                                          \5/
 | x*asin|-| dx = C - ------------------------------------------------------- + ----------
 |       \5/                                     10                                 2     
 |                                                                                        
/                                                                                         

$${{\arcsin \left({{x}\over{5}}\right)\,x^2}\over{2}}-{{{{125\, \arcsin \left({{x}\over{5}}\right)}\over{2}}-{{25\,x\,\sqrt{1-{{x^2 }\over{25}}}}\over{2}}}\over{10}}$$