Интеграл x*atan(4*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*atan(4*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{4}{16 x^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{16 x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{16 x^{2} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{16 x^{2} + 1} = \frac{1}{16} - \frac{1}{256 x^{2} + 16}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{256 x^{2} + 16}\, dx = - \frac{1}{16} \int \frac{1}{16 x^{2} + 1}\, dx$

         1. пусть $u = 4 x$.

            Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u^{2} + 4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4 u^{2} + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{4} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{64} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}$

      Результат есть: $\frac{x}{16} - \frac{1}{64} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} - \frac{1}{32} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )} - \frac{x}{8} + \frac{1}{32} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )} - \frac{x}{8} + \frac{1}{32} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                     1   17*atan(4)
 |  x*atan(4*x) dx = - - + ----------
 |                     8       32    
/                                    
0                                    

$${{17\,\arctan 4-4}\over{32}}$$

Численный ответ

0.579340633823642

Ответ (Неопределённый)

  /                                      2          
 |                      x   atan(4*x)   x *atan(4*x)
 | x*atan(4*x) dx = C - - + --------- + ------------
 |                      8       32           2      
/                                                   

$${{x^2\,\arctan \left(4\,x\right)}\over{2}}-2\,\left({{x}\over{16}}- {{\arctan \left(4\,x\right)}\over{64}}\right)$$