Интеграл x*atan(2*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*atan(2*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{4 x^{2} + 1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16 x^{2} + 4}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{16 x^{2} + 4}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 x^{2} + 1}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u^{2} + 2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u^{2} + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$

   Результат есть: $\frac{x}{4} - \frac{1}{8} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                     1   5*atan(2)
 |  x*atan(2*x) dx = - - + ---------
 |                     4       8    
/                                   
0                                   

$${{5\,\arctan 2-2}\over{8}}$$

Численный ответ

0.441967948621307

Ответ (Неопределённый)

  /                                      2          
 |                      x   atan(2*x)   x *atan(2*x)
 | x*atan(2*x) dx = C - - + --------- + ------------
 |                      4       8            2      
/                                                   

$${{x^2\,\arctan \left(2\,x\right)}\over{2}}+{{\arctan \left(2\,x \right)}\over{8}}-{{x}\over{4}}$$