Интеграл x*atan(1/x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |        /1\   
 |  x*atan|-| dx
 |        \x/   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{2 + \frac{2}{x^{2}}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

      Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |        /1\         
 |  x*atan|-| dx = 1/2
 |        \x/         
 |                    
/                     
0                     

$${{1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                                  2     /1\
 |                                  x *atan|-|
 |       /1\          x   atan(x)          \x/
 | x*atan|-| dx = C + - - ------- + ----------
 |       \x/          2      2          2     
 |                                            
/                                             

$${{x-\arctan x}\over{2}}+{{\arctan \left({{1}\over{x}}\right)\,x^2 }\over{2}}$$