Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл x*atan(1/x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
  /             
 |              
 |        /1\   
 |  x*atan|-| dx
 |        \x/   
 |              
/               
0
    ∫01xatan⁡(1x) dx\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}\, dx
    Подробное решение

    1. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=atan⁡(1x)u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} и пусть dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x dx.

      Затем du⁡(x)=−1x2(1+1x2)\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫−12+2x2 dx=−12∫11+1x2 dx\int - \frac{1}{2 + \frac{2}{x^{2}}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        11+1x2=1−1x2+1\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−1x2+1 dx=−∫1x2+1 dx\int - \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx

          1. Интеграл 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} есть atan⁡(x)\operatorname{atan}{\left (x \right )}.

          Таким образом, результат будет: −atan⁡(x)- \operatorname{atan}{\left (x \right )}

        Результат есть: x−atan⁡(x)x - \operatorname{atan}{\left (x \right )}

      Таким образом, результат будет: −x2+12atan⁡(x)- \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x22atan⁡(1x)+x2−12atan⁡(x)+constant\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    x22atan⁡(1x)+x2−12atan⁡(x)+constant\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2020
    Ответ [src]
      1                   
  /                   
 |                    
 |        /1\         
 |  x*atan|-| dx = 1/2
 |        \x/         
 |                    
/                     
0
    12{{1}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    0.5
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                  2     /1\
 |                                  x *atan|-|
 |       /1\          x   atan(x)          \x/
 | x*atan|-| dx = C + - - ------- + ----------
 |       \x/          2      2          2     
 |                                            
/
    x−arctan⁡x2+arctan⁡(1x) x22{{x-\arctan x}\over{2}}+{{\arctan \left({{1}\over{x}}\right)\,x^2 }\over{2}}
    Упростить