Интеграл x*atan(8*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*atan(8*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (8 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (8 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{8}{64 x^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{4 x^{2}}{64 x^{2} + 1}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{64 x^{2} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{64 x^{2} + 1} = \frac{1}{64} - \frac{1}{4096 x^{2} + 64}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{64}\, dx = \frac{x}{64}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{4096 x^{2} + 64}\, dx = - \frac{1}{64} \int \frac{1}{64 x^{2} + 1}\, dx$

         1. пусть $u = 8 x$.

            Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{1}{8 u^{2} + 8}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 u^{2} + 8}\, dx = \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{8} \operatorname{atan}{\left (8 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{512} \operatorname{atan}{\left (8 x \right )}$

      Результат есть: $\frac{x}{64} - \frac{1}{512} \operatorname{atan}{\left (8 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x}{16} - \frac{1}{128} \operatorname{atan}{\left (8 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (8 x \right )} - \frac{x}{16} + \frac{1}{128} \operatorname{atan}{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (8 x \right )} - \frac{x}{16} + \frac{1}{128} \operatorname{atan}{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                     1    65*atan(8)
 |  x*atan(8*x) dx = - -- + ----------
 |                     16      128    
/                                     
0                                     

$${{65\,\arctan 8-8}\over{128}}$$

Численный ответ

0.672020989032256

Ответ (Неопределённый)

  /                                       2          
 |                      x    atan(8*x)   x *atan(8*x)
 | x*atan(8*x) dx = C - -- + --------- + ------------
 |                      16      128           2      
/                                                    

$${{x^2\,\arctan \left(8\,x\right)}\over{2}}-4\,\left({{x}\over{64}}- {{\arctan \left(8\,x\right)}\over{512}}\right)$$