Интеграл x*atan(x/3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |        /x\   
 |  x*atan|-| dx
 |        \3/   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{\frac{2 x^{2}}{3} + 6}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{9} + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{9} + 1} = 9 - \frac{81}{x^{2} + 9}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 9\, dx = 9 x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{81}{x^{2} + 9}\, dx = - 81 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx = \frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{9} + 1}\, dx$

               1. пусть $u = \frac{x}{3}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

                  $\int \frac{3}{u^{2} + 1}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{3}{u^{2} + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $3 \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $3 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 27 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

         Результат есть: $9 x - 27 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )} = x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{\frac{2 x^{2}}{3} + 6}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{9} + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{9} + 1} = 9 - \frac{81}{x^{2} + 9}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 9\, dx = 9 x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{81}{x^{2} + 9}\, dx = - 81 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx = \frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{9} + 1}\, dx$

               1. пусть $u = \frac{x}{3}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

                  $\int \frac{3}{u^{2} + 1}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{3}{u^{2} + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $3 \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $3 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 27 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

         Результат есть: $9 x - 27 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                                   
 |        /x\                        
 |  x*atan|-| dx = -3/2 + 5*atan(1/3)
 |        \3/                        
 |                                   
/                                    
0                                    

$${{10\,\arctan \left({{1}\over{3}}\right)-3}\over{2}}$$

Численный ответ

0.108752771983211

Ответ (Неопределённый)

  /                               /x\    2     /x\
 |                          9*atan|-|   x *atan|-|
 |       /x\          3*x         \3/          \3/
 | x*atan|-| dx = C - --- + --------- + ----------
 |       \3/           2        2           2     
 |                                                
/                                                 

$${{\arctan \left({{x}\over{3}}\right)\,x^2}\over{2}}-{{9\,x-27\, \arctan \left({{x}\over{3}}\right)}\over{6}}$$