Интеграл x*atan(x+2) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  x*atan(x + 2) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 2\right)^{2} + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} + 1}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} + 1} = - \frac{4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 5} + 1$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx = - \int \frac{4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 5} = \frac{4 x}{x^{2} + 4 x + 5} + \frac{5}{x^{2} + 4 x + 5}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{4 x}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx = 4 \int \frac{x}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                     Но интеграл

                     $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - 2 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - 8 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{5}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                     Но интеграл

                     $\operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $5 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

               Результат есть: $2 \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - 3 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} + 3 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $x - 2 \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} + 3 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 5}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 5} = - \frac{4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 5} + 1$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx = - \int \frac{4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 5} = \frac{4 x}{x^{2} + 4 x + 5} + \frac{5}{x^{2} + 4 x + 5}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{4 x}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx = 4 \int \frac{x}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                     Но интеграл

                     $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - 2 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - 8 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{5}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                     Но интеграл

                     $\operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $5 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

               Результат есть: $2 \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - 3 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} + 3 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $x - 2 \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} + 3 \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x}{2} - \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} + \frac{3}{2} \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )} - \frac{x}{2} + \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - \frac{3}{2} \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )} - \frac{x}{2} + \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - \frac{3}{2} \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )} - \frac{x}{2} + \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} - \frac{3}{2} \operatorname{atan}{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                
  /                                                                
 |                       1                      3*atan(2)          
 |  x*atan(x + 2) dx = - - - atan(3) - log(5) + --------- + log(10)
 |                       2                          2              
/                                                                  
0                                                                  

$${{2\,\log 10-2\,\arctan 3-1}\over{2}}-\log 5+{{3\,\arctan 2}\over{2 }}$$

Численный ответ

0.604824484852827

Ответ (Неопределённый)

  /                                            2                                
 |                        3*atan(2 + x)   x   x *atan(x + 2)      /     2      \
 | x*atan(x + 2) dx = C - ------------- - - + -------------- + log\5 + x  + 4*x/
 |                              2         2         2                           
/                                                                               

$${{x^2\,\arctan \left(x+2\right)}\over{2}}-{{-2\,\log \left(x^2+4\,x +5\right)+3\,\arctan \left({{2\,x+4}\over{2}}\right)+x}\over{2}}$$