Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл x*atan(x)*dx (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
  /             
 |              
 |  x*atan(x) dx
 |              
/               
0
    ∫01xatan⁡(x) dx\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение

    1. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=atan⁡(x)u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (x \right )} и пусть dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x dx.

      Затем du⁡(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2} + 1} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫x22x2+2 dx=12∫x2x2+1 dx\int \frac{x^{2}}{2 x^{2} + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x2x2+1=1−1x2+1\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−1x2+1 dx=−∫1x2+1 dx\int - \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx

          1. Интеграл 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} есть atan⁡(x)\operatorname{atan}{\left (x \right )}.

          Таким образом, результат будет: −atan⁡(x)- \operatorname{atan}{\left (x \right )}

        Результат есть: x−atan⁡(x)x - \operatorname{atan}{\left (x \right )}

      Таким образом, результат будет: x2−12atan⁡(x)\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x22atan⁡(x)−x2+12atan⁡(x)+constant\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    x22atan⁡(x)−x2+12atan⁡(x)+constant\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-200200
    Ответ [src]
      1                        
  /                        
 |                   1   pi
 |  x*atan(x) dx = - - + --
 |                   2   4 
/                          
0
    π−24{{\pi-2}\over{4}}
    Численный ответ [src]
    0.285398163397448
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                  2        
 |                    atan(x)   x   x *atan(x)
 | x*atan(x) dx = C + ------- - - + ----------
 |                       2      2       2     
/
    x2 arctan⁡x2−x−arctan⁡x2{{x^2\,\arctan x}\over{2}}-{{x-\arctan x}\over{2}}
    Упростить