Интеграл x*atan(x^2) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |        / 2\   
 |  x*atan\x / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. пусть $u = u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x^{4} + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. пусть $u = x^{4} + 1$.

      Тогда пусть $du = 4 x^{3} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \log{\left (x^{4} + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x^{4} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x^{4} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |        / 2\        log(2)   pi
 |  x*atan\x / dx = - ------ + --
 |                      4      8 
/                                
0                                

$${{\pi}\over{8}}-{{\log 2}\over{4}}$$

Численный ответ

0.219412286558738

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                        /     4\    2     / 2\
 |       / 2\          log\1 + x /   x *atan\x /
 | x*atan\x / dx = C - ----------- + -----------
 |                          4             2     
/                                               

$${{x^2\,\arctan x^2-{{\log \left(x^4+1\right)}\over{2}}}\over{2}}$$