Интеграл x*(4-x)^2 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           2   
 |  x*(4 - x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(- x + 4\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(- x + 4\right)^{2} = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 8 x^{2}\, dx = - 8 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{8 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 16 x\, dx = 16 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $8 x^{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{8 x^{3}}{3} + 8 x^{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} - 32 x + 96\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} - 32 x + 96\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} - 32 x + 96\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |           2      67
 |  x*(4 - x)  dx = --
 |                  12
/                     
0                     

$${{67}\over{12}}$$

Численный ответ

5.58333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                               3    4
 |          2             2   8*x    x 
 | x*(4 - x)  dx = C + 8*x  - ---- + --
 |                             3     4 
/                                      

$${{3\,x^4-32\,x^3+96\,x^2}\over{12}}$$