Интеграл x*exp(2*x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     2*x   
 |  x*e    dx
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} x e^{2 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{2 x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int e^{2 x}\, dx$

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 x}}{4}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{e^{2 x}}{4} \left(2 x - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{2 x}}{4} \left(2 x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{2 x}}{4} \left(2 x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                   2
 |     2*x      1   e 
 |  x*e    dx = - + --
 |              4   4 
/                     
0                     

$${{e^2}\over{4}}+{{1}\over{4}}$$

Численный ответ

2.09726402473266

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                  2*x      2*x
 |    2*x          e      x*e   
 | x*e    dx = C - ---- + ------
 |                  4       2   
/                               

$${{\left(2\,x-1\right)\,e^{2\,x}}\over{4}}$$