Интеграл x*exp(5*x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     5*x   
 |  x*e    dx
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} x e^{5 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{5 x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{5} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{5 x}}{5}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{1}{5} \int e^{5 x}\, dx$

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{5} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{5 x}}{5}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{e^{5 x}}{25}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{e^{5 x}}{25} \left(5 x - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{5 x}}{25} \left(5 x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{5 x}}{25} \left(5 x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                      5
 |     5*x      1    4*e 
 |  x*e    dx = -- + ----
 |              25    25 
/                        
0                        

$${{4\,e^5}\over{25}}+{{1}\over{25}}$$

Численный ответ

23.7861054564123

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                  5*x      5*x
 |    5*x          e      x*e   
 | x*e    dx = C - ---- + ------
 |                  25      5   
/                               

$${{\left(5\,x-1\right)\,e^{5\,x}}\over{25}}$$