Интеграл x*exp(x/2) (dx)

Вы ввели

  1        
  /        
 |         
 |     x   
 |     -   
 |     2   
 |  x*e  dx
 |         
/          
0          

$$\int_{0}^{1} x e^{\frac{x}{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{\frac{x}{2}}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 e^{\frac{x}{2}}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

      1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 e^{\frac{x}{2}}$

      Таким образом, результат будет: $4 e^{\frac{x}{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x e^{\frac{x}{2}} = x e^{\frac{x}{2}}$

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{\frac{x}{2}}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 e^{\frac{x}{2}}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

      1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 e^{\frac{x}{2}}$

      Таким образом, результат будет: $4 e^{\frac{x}{2}}$

2. Теперь упростить:

   $2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |     x                
 |     -                
 |     2             1/2
 |  x*e  dx = 4 - 2*e   
 |                      
/                       
0                       

$$4-2\,\sqrt{e}$$

Численный ответ

0.702557458599744

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |    x             x        x
 |    -             -        -
 |    2             2        2
 | x*e  dx = C - 4*e  + 2*x*e 
 |                            
/                             

$$\left(2\,x-4\right)\,e^{{{x}\over{2}}}$$