Интеграл x*e^(1-x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1 - x   
 |  x*E      dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} e^{- x + 1} x\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{- x + 1} x = e x e^{- x}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int e x e^{- x}\, dx = e \int x e^{- x}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - e^{- x}\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Таким образом, результат будет: $e^{- x}$

   Таким образом, результат будет: $e \left(- x e^{- x} - e^{- x}\right)$

3. Теперь упростить:

   $- \left(x + 1\right) e^{- x + 1}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(x + 1\right) e^{- x + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(x + 1\right) e^{- x + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |     1 - x            
 |  x*E      dx = -2 + E
 |                      
/                       
0                       

$${{E}\over{\left(\log E\right)^2}}-{{\log E+1}\over{\left(\log E \right)^2}}$$

Численный ответ

0.718281828459045