Интеграл x*e^(8*x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     8*x   
 |  x*E    dx
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} e^{8 x} x\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{8 x} x = x e^{8 x}$

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{8 x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 8 x$.

      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{8} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{8 x}}{8}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{e^{8 x}}{8}\, dx = \frac{1}{8} \int e^{8 x}\, dx$

   1. пусть $u = 8 x$.

      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{8} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{8 x}}{8}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{e^{8 x}}{64}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{e^{8 x}}{64} \left(8 x - 1\right)$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{8 x}}{64} \left(8 x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{8 x}}{64} \left(8 x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                      8
 |     8*x      1    7*e 
 |  x*E    dx = -- + ----
 |              64    64 
/                        
0                        

$${{8\,E^8\,\log E-E^8}\over{64\,\left(\log E\right)^2}}+{{1}\over{64 \,\left(\log E\right)^2}}$$

Численный ответ

326.057904832689

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                  8*x      8*x
 |    8*x          e      x*e   
 | x*E    dx = C - ---- + ------
 |                  64      8   
/                               

$$\int e^{8 x} x\, dx = C + \frac{x}{8} e^{8 x} - \frac{e^{8 x}}{64}$$