Интеграл x*cos(12*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*cos(12*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \cos{\left (12 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (12 x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 12 x$.

      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{12} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{12} \sin{\left (12 x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{12} \sin{\left (12 x \right )}\, dx = \frac{1}{12} \int \sin{\left (12 x \right )}\, dx$

   1. пусть $u = 12 x$.

      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{12} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{12} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{12} \cos{\left (12 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{144} \cos{\left (12 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{12} \sin{\left (12 x \right )} + \frac{1}{144} \cos{\left (12 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{12} \sin{\left (12 x \right )} + \frac{1}{144} \cos{\left (12 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                           
  /                                           
 |                      1    sin(12)   cos(12)
 |  x*cos(12*x) dx = - --- + ------- + -------
 |                     144      12       144  
/                                             
0                                             

$${{12\,\sin 12+\cos 12}\over{144}}-{{1}\over{144}}$$

Численный ответ

-0.0457987573421717

Ответ (Неопределённый)

  /                                            
 |                      cos(12*x)   x*sin(12*x)
 | x*cos(12*x) dx = C + --------- + -----------
 |                         144           12    
/                                              

$${{12\,x\,\sin \left(12\,x\right)+\cos \left(12\,x\right)}\over{144 }}$$