Интеграл x*cos(8*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  x*cos(8*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \cos{\left (8 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (8 x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 8 x$.

      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{8} \int \sin{\left (8 x \right )}\, dx$

   1. пусть $u = 8 x$.

      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{8} \cos{\left (8 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{64} \cos{\left (8 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{8} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{64} \cos{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{8} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{64} \cos{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                    1    sin(8)   cos(8)
 |  x*cos(8*x) dx = - -- + ------ + ------
 |                    64     8        64  
/                                         
0                                         

$${{8\,\sin 8+\cos 8}\over{64}}-{{1}\over{64}}$$

Численный ответ

0.105771342799663

Ответ (Неопределённый)

  /                                         
 |                     cos(8*x)   x*sin(8*x)
 | x*cos(8*x) dx = C + -------- + ----------
 |                        64          8     
/                                           

$${{8\,x\,\sin \left(8\,x\right)+\cos \left(8\,x\right)}\over{64}}$$