Интеграл x*cos(x/5) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |       /x\   
 |  x*cos|-| dx
 |       \5/   
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = \frac{x}{5}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{5}$ и подставим $5 du$:

      $\int 25 \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5 \cos{\left(u \right)}\, du = 5 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $5 \sin{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $5 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 5 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx$

   1. пусть $u = \frac{x}{5}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{5}$ и подставим $5 du$:

      $\int 25 \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 5 \cos{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-25 + 5*sin(1/5) + 25*cos(1/5)

$$-25 + 5 \sin{\left(\frac{1}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{1}{5} \right)}$$

=

=

-25 + 5*sin(1/5) + 25*cos(1/5)

$$-25 + 5 \sin{\left(\frac{1}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{1}{5} \right)}$$

Численный ответ

0.495011100006347

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                                         
 |      /x\                /x\          /x\
 | x*cos|-| dx = C + 25*cos|-| + 5*x*sin|-|
 |      \5/                \5/          \5/
 |                                         
/                                          

$$\int x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx = C + 5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$$

График