Интеграл x*cos(x^3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       / 3\   
 |  x*cos\x / dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \cos{\left (x^{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x^{3} \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{x \Gamma{\left(\frac{1}{6} \right)}}{6 \Gamma{\left(\frac{7}{6} \right)}} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x \Gamma{\left(\frac{1}{6} \right)}}{6 \Gamma{\left(\frac{7}{6} \right)}} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)}\, dx = \frac{\Gamma{\left(\frac{1}{6} \right)}}{6 \Gamma{\left(\frac{7}{6} \right)}} \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)}\, dx$

   Таким образом, результат будет: $\frac{\Gamma{\left(\frac{1}{6} \right)}}{6 \Gamma{\left(\frac{7}{6} \right)}} \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)}\, dx$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\Gamma{\left(\frac{1}{6} \right)}}{6 \Gamma{\left(\frac{7}{6} \right)}} \left(x^{2} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)} - \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)}\, dx\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\Gamma{\left(\frac{1}{6} \right)}}{6 \Gamma{\left(\frac{7}{6} \right)}} \left(x^{2} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)} - \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)}\, dx\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\Gamma{\left(\frac{1}{6} \right)}}{6 \Gamma{\left(\frac{7}{6} \right)}} \left(x^{2} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)} - \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2}, \frac{7}{6} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{6}}{4}} \right)}\, dx\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             _                   
  /                            |_  /  1/3    |     \
 |                 gamma(1/3)* |   |         | -1/4|
 |       / 3\                 1  2 \1/2, 4/3 |     /
 |  x*cos\x / dx = ---------------------------------
 |                            6*gamma(4/3)          
/                                                   
0                                                   

$${{\Gamma\left({{2}\over{3}} , i\right)}\over{6}}+{{\Gamma\left({{2 }\over{3}} , -i\right)}\over{6}}-{{\Gamma\left({{2}\over{3}}\right) }\over{3}}$$

Численный ответ

0.440407691381967

Ответ (Неопределённый)

                      /  /                           \                                                  
                      | |                            |                                                  
                      | |                            |                                                  
                      | |     _  /         |   6 \   |                                                  
                      | |    |_  |  1/6    | -x  |   |                                                  
                      | | x* |   |         | ----| dx|*gamma(1/6)                   _  /         |   6 \
  /                   | |   1  2 \1/2, 7/6 |  4  /   |               2             |_  |  1/6    | -x  |
 |                    | |                            |              x *gamma(1/6)* |   |         | ----|
 |      / 3\          \/                             /                            1  2 \1/2, 7/6 |  4  /
 | x*cos\x / dx = C - ------------------------------------------- + ------------------------------------
 |                                    6*gamma(7/6)                              6*gamma(7/6)            
/                                                                                                       

$${{\Gamma\left({{2}\over{3}} , i\,x^3\right)+\Gamma\left({{2}\over{3 }} , -i\,x^3\right)}\over{6}}$$