Интеграл x*log(4*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  x*log(4*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(4 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \log{\left(4 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

         $\int u e^{2 u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = 2 u$.

                  Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

                     1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Метод #2

               1. пусть $u = e^{2 u}$.

                  Тогда пусть $du = 2 e^{2 u} du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int 1\, du = u$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

            1. пусть $u = 2 u$.

               Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 u}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2} \log{\left(2 \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x^{2} \log{\left(2 \right)}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \log{\left(4 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

         $\int u e^{2 u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. пусть $u = 2 u$.

               Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

            1. пусть $u = 2 u$.

               Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 u}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2} \log{\left(2 \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x^{2} \log{\left(2 \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1   log(4)
- - + ------
  4     2   

$$- \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}$$

=

=

  1   log(4)
- - + ------
  4     2   

$$- \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.443147180559945

Ответ (Неопределённый)

  /                     2                2       
 |                     x     2          x *log(x)
 | x*log(4*x) dx = C - -- + x *log(2) + ---------
 |                     4                    2    
/                                                

$$\int x \log{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x^{2} \log{\left(2 \right)}$$