Интеграл x*log(4*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |  x*log(4*x) dx
     |               
    /                
    0                
    01xlog(4x)dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(4 x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        xlog(4x)=xlog(x)+2xlog(2)x \log{\left(4 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}

      2. Интегрируем почленно:

        1. пусть u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Тогда пусть du=dxxdu = \frac{dx}{x} и подставим dudu:

          ue2udu\int u e^{2 u}\, du

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=uu{\left(u \right)} = u и пусть dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Чтобы найти v(u)v{\left(u \right)}:

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

              Метод #1

              1. пусть u=2uu = 2 u.

                Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                    eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Метод #2

              1. пусть u=e2uu = e^{2 u}.

                Тогда пусть du=2e2ududu = 2 e^{2 u} du и подставим du2\frac{du}{2}:

                14du\int \frac{1}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  12du=1du2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                    1du=u\int 1\, du = u

                  Таким образом, результат будет: u2\frac{u}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. пусть u=2uu = 2 u.

              Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

              eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Таким образом, результат будет: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xlog(2)dx=2log(2)xdx\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: x2log(2)x^{2} \log{\left(2 \right)}

        Результат есть: x2log(x)2x24+x2log(2)\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x^{2} \log{\left(2 \right)}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(4x)u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)} и пусть dv(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

        Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        x2dx=xdx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Таким образом, результат будет: x24\frac{x^{2}}{4}

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        xlog(4x)=xlog(x)+2xlog(2)x \log{\left(4 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}

      2. Интегрируем почленно:

        1. пусть u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Тогда пусть du=dxxdu = \frac{dx}{x} и подставим dudu:

          ue2udu\int u e^{2 u}\, du

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=uu{\left(u \right)} = u и пусть dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Чтобы найти v(u)v{\left(u \right)}:

            1. пусть u=2uu = 2 u.

              Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

              eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. пусть u=2uu = 2 u.

              Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

              eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Таким образом, результат будет: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xlog(2)dx=2log(2)xdx\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: x2log(2)x^{2} \log{\left(2 \right)}

        Результат есть: x2log(x)2x24+x2log(2)\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x^{2} \log{\left(2 \right)}

    2. Теперь упростить:

      x2(2log(x)1+log(16))4\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2(2log(x)1+log(16))4+constant\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x2(2log(x)1+log(16))4+constant\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-200200
    Ответ [src]
      1   log(4)
    - - + ------
      4     2   
    14+log(4)2- \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}
    =
    =
      1   log(4)
    - - + ------
      4     2   
    14+log(4)2- \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}
    Численный ответ [src]
    0.443147180559945
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                     2                2       
     |                     x     2          x *log(x)
     | x*log(4*x) dx = C - -- + x *log(2) + ---------
     |                     4                    2    
    /                                                
    xlog(4x)dx=C+x2log(x)2x24+x2log(2)\int x \log{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x^{2} \log{\left(2 \right)}