Интеграл x*log(2*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  x*log(2*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (2 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \log{\left (2 x \right )} = x \log{\left (x \right )} + x \log{\left (2 \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int x \log{\left (2 \right )}\, dx = \log{\left (2 \right )} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (2 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \log{\left (2 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (2 x \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (2 x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (2 x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                    1   log(2)
 |  x*log(2*x) dx = - - + ------
 |                    4     2   
/                               
0                               

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \log{\left (2 \right )}$$

Численный ответ

0.0965735902799727

Ответ (Неопределённый)

  /                     2    2         
 |                     x    x *log(2*x)
 | x*log(2*x) dx = C - -- + -----------
 |                     4         2     
/                                      

$${{x^2\,\log \left(2\,x\right)}\over{2}}-{{x^2}\over{4}}$$