Интеграл x*log(x/2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |       /x\   
 |  x*log|-| dx
 |       \2/   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \log{\left (\frac{x}{2} \right )} = x \log{\left (x \right )} - x \log{\left (2 \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x \log{\left (2 \right )}\, dx = - \log{\left (2 \right )} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2} \log{\left (2 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{2} \log{\left (2 \right )} - \frac{x^{2}}{4}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                           
 |                            
 |       /x\        1   log(2)
 |  x*log|-| dx = - - - ------
 |       \2/        4     2   
 |                            
/                             
0                             

$$-{{2\,\log 2+1}\over{4}}$$

Численный ответ

-0.596573590279973

Ответ (Неопределённый)

  /                        2    /x\
 |                    2   x *log|-|
 |      /x\          x          \2/
 | x*log|-| dx = C - -- + ---------
 |      \2/          4        2    
 |                                 
/                                  

$${{\log \left({{x}\over{2}}\right)\,x^2}\over{2}}-{{x^2}\over{4}}$$