Интеграл x*log(x)-x (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (x*log(x) - x) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (x \right )} - x\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{3 x^{2}}{4}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |  (x*log(x) - x) dx = -3/4
 |                          
/                           
0                           

$$-{{3}\over{4}}$$

Численный ответ

-0.75

Ответ (Неопределённый)

  /                           2    2       
 |                         3*x    x *log(x)
 | (x*log(x) - x) dx = C - ---- + ---------
 |                          4         2    
/                                          

$${{x^2\,\log x}\over{2}}-{{3\,x^2}\over{4}}$$