Интеграл x*log(x+4) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  x*log(x + 4) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (x + 4 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 4 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 4}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{2 x + 8}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 4}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x + 4} = x - 4 + \frac{16}{x + 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -4\, dx = - 4 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{16}{x + 4}\, dx = 16 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

         1. пусть $u = x + 4$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $16 \log{\left (x + 4 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 4 x + 16 \log{\left (x + 4 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 8 \log{\left (x + 4 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 4 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + 2 x - 8 \log{\left (x + 4 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 4 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + 2 x - 8 \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 4 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + 2 x - 8 \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                           
  /                                           
 |                    7              15*log(5)
 |  x*log(x + 4) dx = - + 8*log(4) - ---------
 |                    4                  2    
/                                             
0                                             

$$-{{15\,\log 5}\over{2}}+8\,\log 4+{{7}\over{4}}$$

Численный ответ

0.769570545703372

Ответ (Неопределённый)

  /                                            2    2           
 |                                            x    x *log(x + 4)
 | x*log(x + 4) dx = C - 8*log(4 + x) + 2*x - -- + -------------
 |                                            4          2      
/                                                               

$${{x^2\,\log \left(x+4\right)}\over{2}}-{{16\,\log \left(x+4\right)+ {{x^2-8\,x}\over{2}}}\over{2}}$$