Интеграл x*log(x+2) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  x*log(x + 2) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (x + 2 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 2 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 2}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{2 x + 4}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -2\, dx = - 2 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x + 2 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left (x + 2 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + x - 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + x - 2 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + x - 2 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                          
  /                                          
 |                    3              3*log(3)
 |  x*log(x + 2) dx = - + 2*log(2) - --------
 |                    4                 2    
/                                            
0                                            

$$-{{3\,\log 3}\over{2}}+2\,\log 2+{{3}\over{4}}$$

Численный ответ

0.488375928117726

Ответ (Неопределённый)

  /                                          2    2           
 |                                          x    x *log(x + 2)
 | x*log(x + 2) dx = C + x - 2*log(2 + x) - -- + -------------
 |                                          4          2      
/                                                             

$${{x^2\,\log \left(x+2\right)}\over{2}}-{{4\,\log \left(x+2\right)+ {{x^2-4\,x}\over{2}}}\over{2}}$$