Интеграл x*(log(x)+1) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  x*(log(x) + 1) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) = x \log{\left (x \right )} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{2}}{4}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |  x*(log(x) + 1) dx = 1/4
 |                         
/                          
0                          

$${{1}\over{4}}$$

Численный ответ

0.25