Интеграл x*log(x+1) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  x*log(x + 1) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dx = - x$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |  x*log(x + 1) dx = 1/4
 |                       
/                        
0                        

$${{1}\over{4}}$$

Численный ответ

0.25

Ответ (Неопределённый)

  /                                        2    2           
 |                       x   log(1 + x)   x    x *log(x + 1)
 | x*log(x + 1) dx = C + - - ---------- - -- + -------------
 |                       2       2        4          2      
/                                                           

$${{x^2\,\log \left(x+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(x+1\right)+{{x^ 2-2\,x}\over{2}}}\over{2}}$$