Интеграл x*log(x+3) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  x*log(x + 3) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (x + 3 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 3 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 3}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{2 x + 6}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 3}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x + 3} = x - 3 + \frac{9}{x + 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -3\, dx = - 3 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{9}{x + 3}\, dx = 9 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. пусть $u = x + 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $9 \log{\left (x + 3 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \log{\left (x + 3 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} \log{\left (x + 3 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 3 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} \log{\left (x + 3 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 3 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} \log{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 3 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} \log{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                          
  /                                          
 |                    5              9*log(3)
 |  x*log(x + 3) dx = - - 4*log(4) + --------
 |                    4                 2    
/                                            
0                                            

$$-4\,\log 4+{{9\,\log 3}\over{2}}+{{5}\over{4}}$$

Численный ответ

0.648577854526931

Ответ (Неопределённый)

  /                                      2          2           
 |                       9*log(3 + x)   x    3*x   x *log(x + 3)
 | x*log(x + 3) dx = C - ------------ - -- + --- + -------------
 |                            2         4     2          2      
/                                                               

$${{x^2\,\log \left(x+3\right)}\over{2}}-{{9\,\log \left(x+3\right)+ {{x^2-6\,x}\over{2}}}\over{2}}$$