Интеграл x*log(x^2) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       / 2\   
 |  x*log\x / dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \log{\left (x^{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x^{2} \right )} - \frac{x^{2}}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} \left(\log{\left (x^{2} \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \left(\log{\left (x^{2} \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \left(\log{\left (x^{2} \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |       / 2\          
 |  x*log\x / dx = -1/2
 |                     
/                      
0                      

$$-{{1}\over{2}}$$

Численный ответ

-0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                     2    2    / 2\
 |      / 2\          x    x *log\x /
 | x*log\x / dx = C - -- + ----------
 |                    2        2     
/                                    

$$2\,\left({{x^2\,\log x}\over{2}}-{{x^2}\over{4}}\right)$$