Интеграл x*(1-x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  x*(1 - x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \left(- x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{2} + u\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \left(- x + 1\right) = - x^{2} + x$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x^{2}\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Результат есть: $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{6} \left(- 2 x + 3\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{6} \left(- 2 x + 3\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{6} \left(- 2 x + 3\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |  x*(1 - x) dx = 1/6
 |                    
/                     
0                     

$${{1}\over{6}}$$

Численный ответ

0.166666666666667

Ответ (Неопределённый)

  /                    2    3
 |                    x    x 
 | x*(1 - x) dx = C + -- - --
 |                    2    3 
/                            

$$-{{2\,x^3-3\,x^2}\over{6}}$$