Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл x*(1-x)^10 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
  /               
 |                
 |           10   
 |  x*(1 - x)   dx
 |                
/                 
0
    ∫01x(−x+1)10 dx\int_{0}^{1} x \left(- x + 1\right)^{10}\, dx
    Подробное решение

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      x(−x+1)10=x11−10x10+45x9−120x8+210x7−252x6+210x5−120x4+45x3−10x2+xx \left(- x + 1\right)^{10} = x^{11} - 10 x^{10} + 45 x^{9} - 120 x^{8} + 210 x^{7} - 252 x^{6} + 210 x^{5} - 120 x^{4} + 45 x^{3} - 10 x^{2} + x

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        ∫x11 dx=x1212\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−10x10 dx=−10∫x10 dx\int - 10 x^{10}\, dx = - 10 \int x^{10}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x10 dx=x1111\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}

        Таким образом, результат будет: −10x1111- \frac{10 x^{11}}{11}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫45x9 dx=45∫x9 dx\int 45 x^{9}\, dx = 45 \int x^{9}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x9 dx=x1010\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}

        Таким образом, результат будет: 9x102\frac{9 x^{10}}{2}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−120x8 dx=−120∫x8 dx\int - 120 x^{8}\, dx = - 120 \int x^{8}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x8 dx=x99\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}

        Таким образом, результат будет: −40x93- \frac{40 x^{9}}{3}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫210x7 dx=210∫x7 dx\int 210 x^{7}\, dx = 210 \int x^{7}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

        Таким образом, результат будет: 105x84\frac{105 x^{8}}{4}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−252x6 dx=−252∫x6 dx\int - 252 x^{6}\, dx = - 252 \int x^{6}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x6 dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

        Таким образом, результат будет: −36x7- 36 x^{7}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫210x5 dx=210∫x5 dx\int 210 x^{5}\, dx = 210 \int x^{5}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

        Таким образом, результат будет: 35x635 x^{6}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−120x4 dx=−120∫x4 dx\int - 120 x^{4}\, dx = - 120 \int x^{4}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

        Таким образом, результат будет: −24x5- 24 x^{5}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫45x3 dx=45∫x3 dx\int 45 x^{3}\, dx = 45 \int x^{3}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Таким образом, результат будет: 45x44\frac{45 x^{4}}{4}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−10x2 dx=−10∫x2 dx\int - 10 x^{2}\, dx = - 10 \int x^{2}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Таким образом, результат будет: −10x33- \frac{10 x^{3}}{3}

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Результат есть: x1212−10x1111+9x102−40x93+105x84−36x7+35x6−24x5+45x44−10x33+x22\frac{x^{12}}{12} - \frac{10 x^{11}}{11} + \frac{9 x^{10}}{2} - \frac{40 x^{9}}{3} + \frac{105 x^{8}}{4} - 36 x^{7} + 35 x^{6} - 24 x^{5} + \frac{45 x^{4}}{4} - \frac{10 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}

    3. Теперь упростить:

      x2132(11x10−120x9+594x8−1760x7+3465x6−4752x5+4620x4−3168x3+1485x2−440x+66)\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2132(11x10−120x9+594x8−1760x7+3465x6−4752x5+4620x4−3168x3+1485x2−440x+66)+constant\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    x2132(11x10−120x9+594x8−1760x7+3465x6−4752x5+4620x4−3168x3+1485x2−440x+66)+constant\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-500000000000500000000000
    Ответ [src]
      1                       
  /                       
 |                        
 |           10           
 |  x*(1 - x)   dx = 1/132
 |                        
/                         
0
    1132{{1}\over{132}}
    Численный ответ [src]
    0.00757575757575758
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                                       
 |                       2                               9       3       11    12      10       4        8
 |          10          x        7       5       6   40*x    10*x    10*x     x     9*x     45*x    105*x 
 | x*(1 - x)   dx = C + -- - 36*x  - 24*x  + 35*x  - ----- - ----- - ------ + --- + ----- + ----- + ------
 |                      2                              3       3       11      12     2       4       4   
/
    11 x12−120 x11+594 x10−1760 x9+3465 x8−4752 x7+4620 x6−3168 x5+1485 x4−440 x3+66 x2132{{11\,x^{12}-120\,x^{11}+594\,x^{10}-1760\,x^9+3465\,x^8-4752\,x^7+ 4620\,x^6-3168\,x^5+1485\,x^4-440\,x^3+66\,x^2}\over{132}}
    Упростить