Интеграл x*(1-x)^10 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           10   
 |  x*(1 - x)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \left(- x + 1\right)^{10}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(- x + 1\right)^{10} = x^{11} - 10 x^{10} + 45 x^{9} - 120 x^{8} + 210 x^{7} - 252 x^{6} + 210 x^{5} - 120 x^{4} + 45 x^{3} - 10 x^{2} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 10 x^{10}\, dx = - 10 \int x^{10}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{10 x^{11}}{11}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 45 x^{9}\, dx = 45 \int x^{9}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{9 x^{10}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 120 x^{8}\, dx = - 120 \int x^{8}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{40 x^{9}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 210 x^{7}\, dx = 210 \int x^{7}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{105 x^{8}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 252 x^{6}\, dx = - 252 \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $- 36 x^{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 210 x^{5}\, dx = 210 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $35 x^{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 120 x^{4}\, dx = - 120 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- 24 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 45 x^{3}\, dx = 45 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{45 x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 10 x^{2}\, dx = - 10 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{10 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{12}}{12} - \frac{10 x^{11}}{11} + \frac{9 x^{10}}{2} - \frac{40 x^{9}}{3} + \frac{105 x^{8}}{4} - 36 x^{7} + 35 x^{6} - 24 x^{5} + \frac{45 x^{4}}{4} - \frac{10 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |           10           
 |  x*(1 - x)   dx = 1/132
 |                        
/                         
0                         

$${{1}\over{132}}$$

Численный ответ

0.00757575757575758

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                       
 |                       2                               9       3       11    12      10       4        8
 |          10          x        7       5       6   40*x    10*x    10*x     x     9*x     45*x    105*x 
 | x*(1 - x)   dx = C + -- - 36*x  - 24*x  + 35*x  - ----- - ----- - ------ + --- + ----- + ----- + ------
 |                      2                              3       3       11      12     2       4       4   
/                                                                                                         

$${{11\,x^{12}-120\,x^{11}+594\,x^{10}-1760\,x^9+3465\,x^8-4752\,x^7+ 4620\,x^6-3168\,x^5+1485\,x^4-440\,x^3+66\,x^2}\over{132}}$$